1数学模型同步发电机利用派克方程表示的线性数学模型< 1，2>如式（1）（标幺值）。

　　u d u q u F 0 = - r - x d p x q x ad p x ad p - x aq - x d - r - x q p x ad x ad x aq p - x ad p 0 r F + x F p x FD p 0 - x ad p 0 x FD p r D + x D p 0 - x aq p 0 r Q + x Q p i d i q i F i D i Q.

　　（1）式中p为微分算符（p= d /dt）；为转子角频率；r，r F，r D，r Q分别为定子绕组、励磁绕组F、阻尼绕组D和阻尼绕组Q的电阻；x d，x q，x F，x D，x Q分别为各绕组的电抗；x ad，x aq分别为d轴的电枢反应电抗、q轴的电枢反应电抗。各物理量基值的定义参见文献< 1>.

　　同步发电机主磁路的饱和，可以用d轴的气隙磁链m d和q轴的气隙磁链mq这2个变量来描述。

　　下面将同步发电机派克方程中的i d，i q变换成变量md，mq，建立电压、电流、磁链表示的考虑主磁路饱和的发电机数学模型。

　　对于同步发电机，气隙磁链m与合成励磁电流i m的关系为m = x ad i m.

　　（2）式中为转子旋转机械角频率；x ad为d轴电枢反应电抗（饱和值），它的求解方法如下x ad = k ad x m = k ad！

　　4 0 f！L s？#k #！

　　m 1（w 1 k dp l）2 p.（3）式中k ad为直轴电枢反应电抗折算系数；x m = x aq为定子基波磁势作用在气隙平均磁导上的电枢反应电抗，其中0为空气的磁导率；！为电机极距；L s为定子铁心宽度；#为气隙长度；k #为考虑定、动子齿影响的卡特系数；m 1为相数；p为定子总的极对数；w 1为定子绕组每相匝数；k dp l为定子绕组基波绕组系数。

　　i m =（i F + i D - i d）2 + K 2 q（i Q - i q）2，系数K q = x aq（u）/x ad（u）。

　　同步发电机稳态空载运行时，i m = i F，m = E q（标幺值）。空载时E q与i F的关系实际上表达了同步发电机在任何状态下磁路的磁化特性，负载时m与i m的关系应遵循空载特性（即磁化特性）曲线的变化规律，本文用多项式来拟合i m和m的关系如式（4）所示i m =？

　　N k= 1 a k m.

　　（4）式中N为多项式的项数；a k为第k项的系数。N的取值可根据所要达到的拟合精度而作出合理的选择。

　　根据式（2）、式（4），并令Y 0 =？

　　N k = 1 a k k- 1 m，得到x ad Y 0 =.

　　（5）根据式（2），d，q轴气隙磁链的表达式为md = x ad（i F + i D - i d）；mq = x aq（i Q - i q）。

　　（6）将式（6）代入式（4），得i d = i F + i D - Y 0 md.

　　（7）下面根据隐极同步发电机和凸极同步发电机磁路的不同特性得到其考虑主磁路饱和的电压、磁链、电流混合模型。在模型推导的过程中：假设条件为d，q轴的同步漏抗相等，即x d？

　　= x q

　　= x

　　< 4>.

　　1. 1隐极发电机的饱和数学模型对于隐极发电机，根据x aq = K q x ad，代入式（6）并结合式（4），得到i q = i Q - Y 0 mq K q.

　　（8）将式（7）、式（8）代入派克方程，经化简后，得到隐极发电机考虑主磁路饱和后的非线性模型u d u q u F 0 = Y 1 p + Y 0 r Y 2 p - - Y 0 x

　　K q - x

　　p - r - x

　　p - r x

　　Y 3 p + + x

　　Y 0 Y 4 p + Y 0 r K q - x

　　- x

　　p - r Y 5 p Y 6 p r F + x F

　　p x FD

　　p 0 Y 5 p Y 6 p x FD

　　p r D + x D

　　p 0 Y 6 p Y 7 p 0 r Q + x Q

　　p md mq i F i D i Q.

　　（9）1. 2凸极发电机的饱和数学模型对于凸极发电机，q轴气隙比d轴气隙大得多，可不计q轴的饱和，得到i q = i Q - x aq（u）mq.

　　（10）式中x qa（u）为非饱和值。将式（6）、式（9）代入派克方程，经化简后，得到凸极发电机考虑饱和后的非线性模型u d u q u F 0 = Y 1 p + Y 0 r Y 2 p - - x

　　x aq（u）- r - x

　　p - r - x

　　p x

　　+ x

　　Y 0 1 + x

　　x aq（u）p + r x aq（u）- x

　　- x

　　- r - x

　　p Y 5 p Y 6 p r F + x F

　　p x FD

　　p 0 Y 5 p Y 6 p x FD

　　p r D + x D

　　p 0 p 0 r Q + x Q

　　p md mq i F i D i Q（11）式（9）和式（11）中Y 0 =

　　N k = 1 a k k- 1 m；m = 2 md + 2 mq；Y 1 = 1 + x

　　Y 0 Y 5；Y 2 = 1 + x

　　Y 0 Y 6；Y 3 = 1 + x

　　Y 0 K q Y 6；Y 4 = 1 + x

　　Y 1 Y 7；Y 5 = Y 8 2 m d Y 0 m + 1；Y 6 = Y 8 md mq Y 0 m；Y 7 = Y 8 2 mq Y 0 m + 1；Y 8 =

　　N k = 2（k - 1）a k k- 2 m.

　　系数Y i（i= 0，1，2，#，8）与发电机运行状态相对应的m，md，mq有关，故电压方程式（9）和式（11）的系数矩阵中的元素与发电机的运行状态密切相关。系数Y 6反应了d，q轴之间交叉饱和的影响。对于线性模型：Y 0 = % 1，Y 8 = 0，Y 5 = 1，Y 6 = 0，Y 7 = 1，其余Y i均为常数。

　　2仿真验证本文通过2个仿真算例论证了饱和模型的正确性和必要性。

　　算例1某300 MW汽轮发电机参数为x d = 1. 997；x q = 1. 993；x F = 1. 9987；x D = 1. 885；x Q = 1. 8582 x ad = 1. 86；x aq = 1. 82；x FD = 1. 87 r= 0. 002 097；r F = 0. 000 747 2；r D = 0. 009 71；r Q = 0. 027 383，T J = 8（s）饱和磁化曲线参数所示。

　　算例1饱和磁化曲线参数E q /V 0. 0 2674. 86 4723. 21 8368. 30 12075. 03 13822. 10 i F /A 0. 0 104. 0 176. 7 306. 7 442. 7 510. 0 17529. 1519016. 57 19894. 31 20960. 32 22015. 00 24270. 24 25963. 59 665. 3 746. 7 800. 0 880. 0 985. 3 1309. 3 1712. 0下面仿真研究了该隐极汽轮发电机在三相机端空载永久性短路的暂态过程，并对线性模型和饱和模型进行了对比分析。

　　初始条件：设d轴与a相的初始夹角& 0 = 0.仿真时间为2 s，仿真步长为0. 000 1 s.仿真时，各物理量都换算为标幺值。设短路前，短路点的电压为u = 1，模型的初值为：u d< 0 > = 0，u q< 0 > = u，i d< 0> = i q< 0 > = i D< 0> = i Q < 0> = 0，i F< 0> = E q< 0> /x ad = u /x ad，u F< 0> = r F i F< 0>，m d< 0> = u，mq< 0> = 0.

　　是不同模型下发电机空载运行时发生三相对地机端短路的暂态过程的仿真结果。其中i a为定子电流的瞬时值（i a = i d cos&- i q sin&+ i 0，&= & 0 + t，三相对称短路时i 0 = 0）；i F为励磁绕组的电流；为转子的角速度；T e为电磁转矩。

　　三相空载机端短路的暂态过程（线性模型）三相空载机端短路的暂态过程（饱和模型）比较说明：三相机端空载短路的过程中，发电机主磁路的气隙磁通迅速减小，进入不饱和状态，从理论上讲这2种模型描述上述物理过程，除短路初期存在微小的差别外，其余的过程应该是一样的。而仿真结果与理论分析是一致的，因此本文提出的饱和模型在发电机主磁路饱和程度不变时可以替代线性模型。在发电机主磁路饱和的暂态仿真中，采用饱和模型的分析更为科学和合理，这是本文提出饱和模型的目的，即提出饱和模型的必要性。

　　为此将进行发电机突加负荷的暂态仿真。

　　算例2某凸极水轮发电机的原始参数< 3>如下：发电机参数（标幺值）x d = 1. 0；x q = 0. 6；x F = 1. 03；x D = 0. 95；x Q = 0. 7 x ad = 0. 85；x aq = 0. 45；x FD = 0. 85 r= 0. 005；r F = 0. 000 656；r D = 0. 001 51；r Q = 0. 001 59饱和磁化曲线参数如表2所示。

　　表2算例2饱和磁化曲线参数E q /p. u.

　　0. 0 0. 50 0. 6040 0. 6980 0. 7730 0. 8380 0. 8950 0. 9390 0. 9790 1. 0120 1.

　　0420 1. 0700 1. 0940 i F /p. u.

　　0. 0 0. 5882 0. 7353 0. 8824 1. 0294 1. 1765 1. 3235 1. 4706 1. 6176 1.

　　7647 1. 9118 2. 0588 2. 2059 1. 1160 1. 1365 1. 1560 1. 1720 1. 1870 1. 2010 1. 2140 1. 2270 1. 2380 1. 2490 1. 2600 1. 2690 1. 2780 1. 2870 1. 2960 2. 3529 2. 5000 2. 6471 2. 7941 2. 9412 3. 0882 3. 2353 3. 3824 3. 5294 3. 6765 3. 8235 3. 9706 4. 1176 4. 2647 4. 4118下面仿真研究该凸极水轮发电机在0. 5 s时由空载突加额定负载，定子电流的幅值i（i = i 2 d + i 2 q）、励磁电流i F、d轴电枢反应电抗x ad、电磁转矩T e、转子角频率、发电机功角#的变化过程如。（线性模型的仿真结果，饱和模型的仿真结果）10长沙电力学院学报（自然科学版）水轮发电机突加负荷的动态特性知：当同步发电机突加负荷时，由于饱和程度的变化，不同模型的计算结果出现了差异，图3（c）饱和模型中的x ad是通过磁化曲线计算出来的，空载时x ad = 0. 712 3（i m = i F< 0> = 1. 176 5 p. u.），额定运行时x ad = 0. 632 0（i m = i F + i D - i d = 1. 482 8 p.

　　u.），这一结果与理论分析是一致的。这个差异说明采用饱和模型更为合理，因此本文提出饱和模型是可行和必要的。

　　3结论1）同步发电机在非正常工况运行时，主磁路的饱和程度将在很大的范围内变化，用线性模型研究同步发电机运行行为，显然会出现较大的误差< 5>.本文提出了考虑主磁路饱和的磁链、电流混合数学模型，并考虑了d，q轴交叉饱和的相互影响。

　　2）通过仿真研究线性模型和饱和模型的发电机三相机端空载短路的暂态过程，说明饱和模型在发电机主磁路饱和程度不变时可以替代线性模型。

　　3）通过仿真研究线性模型和饱和模型的同步发电机突加负荷的暂态过程，论证了采用饱和模型来分析考虑发电机主磁路饱和的发电机暂态过程是必要的和合理的。