电磁力矩解析2.1电磁力矩的固有分量和受控分量，应用叠加原理，可得以Δδ为激励的电磁力矩增量表达式Δm e＝Δm e（c1）＋Δm e（c4）＋Δm e（c5）＋Δm e（c8）＋Δm e（c10）（1）式中Δm e（c1）＝c 1ΔδΔm e（c5）＝－c 5 c 2 G 9（s）Gτ（s）G e（s）／N（s " #）ΔδΔm e（c4）＝－c 4 c 2 G 9（s）Gτ（s）／N（s " $）ΔδΔm e（c8）＝－c 8 c 2 G 9（s）／N（s % $）ΔδΔm e（c10）＝c 10［c 12 G 11（s）－c 2 c 7 G 9（s）×G 11（s）Gτ（s）G e（s）／N（s）］ΔδG 9（s）＝c 9／（1＋c 9τd0″s）G 11（s）＝c 11／（1＋c 11τq0″s）Gτ（s）＝（1＋τd0″s）／（1＋τd0′s）N（s）＝1＋c 3 G 9（s）Gτ（s）＋c 6 G 9（s）Gτ（s）G e（s）以上各电磁力矩分量，若其表达式含有G e（s）项，表明其与AVR有关，含有与励磁调节有关的受控分量，且G e（s）＝0时的部分则为固有分量；否则仅为固有分量。由此可知，Δm e（c1）仅含固有分量；Δm e（c5）仅含受控分量；Δm e（c4）、Δm e（c8）和Δm e（c10）则同时包含固有分量和受控分量。

　　2.2电磁力矩系数表达式由微振荡法［1］可建立电磁力矩系数表达式。设功角围绕工作点作角频率为λ的小幅低频正弦振荡，则式（1）中各力矩分量亦将围绕工作点作同频小幅振荡。在式（1）中令s＝jλ，可得电磁力矩增量的相量表达式Δm e＝Δm es＋Δm edΔm es＝k sΔδ，Δm ed＝k dΔω＝j（λ／ωN）k dΔδ（2）式中Δm es为同步力矩，Δm ed为阻尼力矩；k s和k d分别为同步力矩系数和阻尼力矩系数。

　　由式（1）可知：k s＝k s（c1）＋k s（c4）＋k s（c5）＋k s（c8）＋k s（c10）k d＝k d（c1）＋k d（c4）＋k d（c5）＋k d（c8）＋k d（c10）其中k s（c1）为电磁力矩分量Δm e（c1）中的同步力矩系数，其余类推。

　　设同步发电机采用快速励磁系统，近似取G e（s）＝k e，则各电磁力矩分量的同步力矩系数和阻尼力矩系数分别为k s（c1）＝c 1，k d（c1）＝0 k s（c4）＝－c 2 c 4 c 9 A（B＋λ2 Cτd0″）k d（c4）＝－c 2 c 4 c 9ωN A（Bτd0″－C）k s（c5）＝－c 2 c 5 c 9 k e A（B＋λ2 Cτd0″）k d（c5）＝－c 2 c 5 c 9 k eωN A（Bτd0″－C）k s（c8）＝－c 2 c 8 c 9 A（B＋λ2 Cτd0′）k d（c8）＝－c 2 c 8 c 9ωN A（Bτd0′－C）k s（c10）＝c 10 c 11 c 12 D－c 2 c 7 c 9 c 10 c 11 k e AD×［（B＋λ2 Cτd0″）＋λ2 c 11τq0″（Bτd0″－C）］k d（c10）＝－c 10 c 11 2 c 12ωN Dτq0″－c 2 c 7 c 9 c 10 c 11ωN k e AD×［（Bτd0″－C）－c 11τq0″（B＋λ2 Cτd0″）］其中A＝1／（B 2＋λ2 C 2）B＝1＋c 9（c 3＋c 6 k e－λ2τd0′τd0″）C＝τd0′＋c 9τd0″（1＋c 3＋c 6 k e）D＝1／（1＋λ2 c 10τq0″2）由文献［14］可知，c 1－c 12模型的线性化系数c 1、c 3、c 6、c 9～c 12是有功功率P的偶函数，除c 12为负值外，其余均为正值；c 2、c 5、c 7为P的奇函数，除c 5为单调减外，其余均为单调增。根据线性化系数c 1￣c 12和发电机时间常数等参数的取值特点可以证明下列几个不等式：B＋λ2 Cτd0″＞0 B＋λ2 Cτd0′＞0 Bτd0″－C＜0（B＋λ2 Cτd0″）＋λ2 c 11τq0″（Bτd0″－C）＞0 Bτd0′－C＞0（k e＞k e1）Bτd0′－C＜0（k e＜k e1）式中k e1＝［τd0″（1＋λ2τd0′2）／（τd0′－τd0″）＋c 3］／c 6为给定工况下AVR的临界增益。

　　2.3同步力矩系数和阻尼力矩系数分析2.3.1各电磁力矩分量的力矩系数分析机组不发生爬行失步的条件为k s＞0，不发生振荡失步的条件为k d＞0［1］。根据各电磁力矩分量的同步力矩系数和阻尼力矩系数的正负可判断出它们对机组k s即机组同步能力或k d即机组阻尼能力的影响。

　　根据线性化系数c 1～c 12和上节中所列不等式，便可确定各电磁力矩分量的同步分量和阻尼分量的正负。分析后可得下面的结论。

　　a.Δm e（c1）仅含固有同步分量。因对任意工况有c 1＞0且数值较大，k s（c1）&0，故Δm e（c1）构成同步力矩的主要部分。

　　b.Δm e（c5）是对应励磁调节主通道的电磁力矩分量，是纯受控分量。对P≠0的任意工况，总有－c 2 c 5 c 9＞0，B＋λ2 Cτd0″＞0，Bτd0″－C＜0，故k s（c5）＞0，k d（c5）＜0，即Δm e（c5）增强同步力矩，但削弱阻尼力矩。作为纯受控分量，AVR削弱机电振荡阻尼的作用主要通过Δm e（c5）来呈现。

　　c.Δm e（c4）主要是依托励磁绕组产生的电磁力矩分量，但包含直轴阻尼绕组互感的影响和AVR的作用。对P≠0任意工况，总有－c 2 c 4 c 9＜0，B＋λ2 Cτd0″＞0，Bτd0″－C＜0，故k s（c4）＜0，k d（c4）＞0，即Δm e（c4）削弱同步力矩，增强阻尼力矩。进一步分析还可知，AVR削弱Δm e（c4）中的固有同步力矩和固有阻尼力矩，但不严重。

　　d.Δm e（c8）主要依托直轴阻尼绕组产生的电磁力第26卷电力自动化设备矩分量，但包含励磁绕组互感的影响和AVR的作用。

　　k d（c8）的固有分量与受控分量交织在一起，在其表达式中令k e＝0，可分解出其固有分量。对P≠0的任意工况，－c 2 c 8 c 9＜0，且当AVR增益与运行工况满足k e＞k e1时Bτd0′－C＞0，从而k d（c8）＜0.可见，计及AVR的作用后，直轴阻尼绕组的阻尼作用被弱化甚至可能提供负阻尼，这出人意料，应予以注意。此外，因B＋λ2 Cτd0′＞0，故直轴阻尼绕组总是削弱同步力矩。

　　e.Δm e（c10）是依托交轴阻尼绕组产生的电磁力矩分量。

　　k d（c10）的第1项为固有分量，第2项为受控分量。对P≠0的任意工况，－c 10 c 11 2 c 12 D＞0，故k d（c10）的固有分量增强阻尼力矩；又因－c 2 c 7 c 9 c 10 c 11 k e AD＜0［（Bτd0″－C）－c 11τq0″（B＋λ2 Cτd0″）］＜0故k d（c10）的受控分量增强阻尼力矩。这表明AVR强化了交轴阻尼绕组的阻尼作用，因此交轴阻尼绕组在抑制低频振荡方面具有重要的作用。类似分析可知，交轴阻尼绕组总是削弱同步力矩。

　　f.P＝0即理想调相运行时，Δm e（c4）、Δm e（c5）、Δm e（c8）均为0，对机组小扰动稳定性没有影响；而Δm e（c10）的受控分量为0.此时，由Δm e（c1）提供同步力矩，由依托交轴阻尼绕组的Δm e（c10）的固有分量提供阻尼力矩。

　　2.3.2AVR作用下的阻尼绕组特性详细分析在此对阻尼绕组的固有阻尼以及AVR对其影响作进一步的分析。

　　在k d（c8）表达式中令k e＝0和c 3＝0，并代入c 1－c 12模型有关线性化系数表达式即得不计励磁绕组互感影响的直轴阻尼绕组固有阻尼力矩系数传统算式：D d＝k d（c8）k e＝0，c 3＝0＝u 2 sin 2δ×x d′－x d″x d′" x d″"×τd″ωN 1＋（λτd″）2式中τd″＝τd0″（x d″"／x d′"），x d″"＝x d″＋x e，x d′"＝x d′＋x e；u为无穷大容量母线电压幅值。

　　在k d（c10）表达式右边第一项代入各线性化系数表达式即得交轴阻尼绕组固有阻尼力矩系数的传统算式：D q＝k d（c10）k e＝0＝u 2 cos 2δ×x q－x q″x q" x q″"×τq″ωN 1＋（λτq″）2式中τq″＝τq0″（x q″"／x q"），x q″"＝x q″＋x e，x q"＝x q＋x e.

　　上述2式分别含有sin 2δ和cos 2δ因子，表明交、直轴阻尼绕组的阻尼作用具有互补特性，例如，在有功重载时，交轴阻尼绕组的固有阻尼能力较差，而直轴阻尼绕组的阻尼能力却较强，这一特性使得发电机在不同的工况下都可以获得较强的阻尼能力。但由前边分析已知，在AVR作用下，情况将发生变化，即交轴阻尼绕组的阻尼作用得到强化，而直轴阻尼绕组的阻尼作用反而被恶化。

　　现以表1所列参数的单机无穷大系统为例验证该结论。对发电机在Q＝0.8p.u.

　　（迟相）和Q＝－0.8p.u.

　　（进相）2种无功功率条件下求取交、直轴阻尼绕组阻尼力矩系数关于有功功率和励磁系统增益的关系曲线如图2所示。计算中，励磁系统增益k e取为0、100、200和300（相应曲线为1、2、3、4），其中k e＝0的曲线是固有阻尼力矩系数曲线。计算时以机电二阶回路自然振荡角频率近似作为λ，即λ≈λn＝c 1ωN／τj $由图2可以得出3点结论。

　　a.

　　比照k e＝0时的固有阻尼力矩系数曲线可知，AVR削弱直轴阻尼绕组的阻尼，对本算例，在AVR作用下各工况下k d（c8）由正变负，且有功负载越重，后果越严重；与之相反，AVR增强交轴阻尼绕组的阻尼，在AVR作用下各工况下k d（c10）均增大，且有功负载越重，效果越显著。

　　b.

　　在进相和迟相运行工况下，AVR对2个阻尼绕组作用的影响有所不同。进相运行时，交轴阻尼绕组的阻尼能力得以提升，显著高于迟相运行时的能力，而直轴阻尼绕组的阻尼能力当k e和P很大时可能较迟相运行时的更差。

　　c.AVR对交、直轴阻尼绕组固有阻尼的影响相反，因此AVR对2个阻尼绕组的合成阻尼力矩系数的影响小于对单个阻尼绕组的影响。

　　表1单机无穷大系统算例参数Tab.1Parametersoftheone－machine infinite－bustestingsystem x d′0.190 x e 0.500τj 5 x d″0.130τd0′8.940 k e 200 x q 0.830τd0″0.093参数x d参数值1.226参数x q″参数值0.140参数τq0″参数值0.215注：表中时间常数单位为s，其余各量均为标么值。

　　刘宪林，等：基于直观线性化模型的同步发电机电磁力矩解析2.4k 1－k 6模型的阻尼系数以k 1～k 6为线性化系数的无阻尼绕组同步发电机Phillips－Heffronk 1－k 6模型［14］如图3所示。图中D e为等值阻尼参数，用来近似反映阻尼绕组的作用。

　　k 1～k 6为线性化系数，表达式为k 1＝e q′u q／x d′！

　　＋（u q 2－u d 2）（x d′－x q）／x d′！

　　x q！

　　k 2＝u d／x d′！

　　k 3＝（x d－x d′）／x d′！

　　k 4＝u d（x d－x d′）／x d′！

　　k 5＝u td u q x q／x q！

　　－u tq u d x d′／x d′！）／u t k 6＝u tq x e／u t x d′！

　　上述各式中运行参数均取工作点处的值。

　　类似于式（2），基于k 1－k 6模型，可得无阻尼绕组同步发电机在微振荡下的电磁力矩同步力矩系数和阻尼力矩系数分别为k s＝k s（k1）＋k s（k4）＋k s（k5）k d＝k d（k1）＋k d（k4）＋k d（k5）其中k s（k1）＝k 1，k d（k1）＝0 k s（k4）＝－k 2 k 4（1＋k 3＋k 6 k e）A k d（k4）＝－k 2 k 4ωNτd0′A k s（k5）＝－k 2 k 5 k e（1＋k 3＋k 6 k e）A k d（k5）＝－k 2 k 5 k eωNτd0′A k A k＝1／［（1＋k 3＋k 6 k e）2＋λ2τd0′2］对表1所示算例系统，分别采用c 1－c 12模型和k 1－k 6模型求取的力矩系数曲线如图4所示（图中标注均为标么值），其中图4（a）为固有力矩系数曲线，而图4（b）则为计及AVR作用后的合成电磁力矩曲线。图4表明，无论是固有分量还是合成电磁力矩，由c 1－c 12模型所得阻尼力矩系数和同步力矩系数均较k 1－k 6模型的大，这体现了阻尼绕组的作用。

　　k 1－k 6模型的等值阻尼系数D e对机组小扰动稳定分析结果影响很大，但合理选取其数值非常困难［3，12］。

　　通常认为，阻尼系数的数值与发电机参数、系统参数和运行工况有关，其实，它还与AVR的参数有关。

　　但一些文献提供的阻尼系数算法并没有计及AVR的影响。由上述分析可知，计及AVR影响的k 1－k 6模型的等值阻尼系数可由c 1－c 12模型与k 1－k 6模型下的阻尼力矩系数之差求取，即D e＝（k d（c4）＋k d（c5）＋k d（c8）＋k d（c10））－（k d（k4）＋k d（k5））（3）表2是算例系统采用c 1－c 12模型和k 1－k 6模型计算的机电模式及阻尼比。计算时，取k e＝200；不考虑机械阻尼，c 1－c 12模型的D m＝0；k 1－k 6模型的等值阻尼系数D e按式（3）计算。

　　由表2可见，无论进相或迟相运行，无论有功重载、轻载，采用式（3）计算的阻尼系数，由k 1－k 6模型第26卷电力自动化设备Q／p.u.

　　P／p.u.

　　c 1－c 12模型k 1－k 6模型机电模式阻尼比D e机电模式阻尼比－0.8 0－2.2717±j8.2406 0.2658 18.1057－1.5088±j5.2474 0.2763 0.5－1.2112±j8.7881 0.1365 12.0863－1.0840±j6.5534 0.1632 1.0 0.6862±j8.9663－0.0763 9.7634 0.5017±j8.2560－0.0607 0－1.0714±j7.8385 0.1354 10.1279－0.8440±j6.6635 0.1257 0.5－0.7406±j8.0347 0.0918 8.9484－0.6324±j7.0046 0.0899 1.0 0.1495±j8.3390－0.0179 7.1198 0.0847±j7.7391－0.0109 0.8 0－0.4096±j6.7923 0.0602 4.3871－0.3656±j6.4209 0.0568 0.5－0.2429±j6.8671 0.0354 4.0996－0.2253±j6.5436 0.0344 1.0 0.2461±j7.0130－0.0351 3.5739 0.2203±j6.8329－0.0322表2算例系统机电模式特征根（x e＝0.5p.u.）Tab.2Eigenvaluesoftheelectromechanicalmodeinthetestingsystem（x e＝0.5p.u.）Q P x e＝0 x e＝0.5固有值k e＝20 k e＝200受控值合成值受控值合成值－0.8 0 44.3873 22.2571 0 22.2571 0 22.2571 0.5 27.7397 9.3056－0.6112 8.6944 4.5217 13.8273 1.0 20.8091 5.8334－2.9852 2.8482－14.2902－8.4568 0 42.5421 12.7432 0 12.7432 0 12.7432 0.5 38.5687 9.9653－0.2928 9.6725 0.7756 10.7409 1.0 31.5600 5.8334－1.6529 4.1805－5.8334 0 0.8 0 40.8442 5.6251 0 5.6251 0 5.6251 0.5 39.3003 4.7570－0.3355 4.4215－0.5594 4.1976 1.0 35.6043 3.6806－1.9490 1.7316－1.3666 2.2840表3阻尼力矩系数Tab.3Dampingtorquecoefficients p.u.

　　所得机电模式阻尼比与计及阻尼绕组作用的c 1－c 12模型所得结果相近，2种模型在系统稳定性的判别上没有出现不一致的现象。

　　另外，不同运行条件以及是否考虑AVR的作用，k 1－k 6模型等值阻尼系数的差别是很大的。因此，对k 1－k 6模型的等值阻尼系数的取值一定要慎重，没有根据随意取值将造成较大的计算误差甚至稳定分析的定性错误。

　　3基于固有阻尼和受控阻尼概念的低频振荡机理分析长距重载输电系统在高增益AVR作用下易出现低频振荡，这已是共识。在此，运用前述固有阻尼和受控阻尼的概念对低频振荡的机理作进一步的细化分析。对算例系统，改变其外电抗和AVR增益，由式（2）计算的阻尼力矩系数如表3所示。

　　刘宪林，等：基于直观线性化模型的同步发电机电磁力矩解析第10期由表3可看出下面所述的结果。

　　3.1阻尼力矩系数的固有分量x e＝0即同步电机直接接于无穷大母线时，机端电压恒定，基于电压偏差而工作的AVR对机组小扰动稳定性不再有影响，阻尼力矩系数仅有固有值且数值较大；x e≠0时阻尼力矩系数固有分量明显减小；对给定的x e≠0，无功负载和有功负载越大，阻尼力矩系数固有分量越小。这表明机组自身的阻尼能力随着外电抗的增大而急剧下降，随着无功负载和有功负载的增大而有所下降。

　　3.2阻尼力矩系数的受控分量当x e≠0时，阻尼力矩系数出现受控分量且为0或负值，且有功负载越大其值越小，AVR增益越大其值越小。这表明AVR削弱机电振荡的阻尼，且这种削弱作用随着有功负载的增大或AVR增益的增大都可趋于严重。

　　此外，时的结果可以发现，机组深度进相且有功负载较大时，AVR削弱阻尼的程度可能更严重，机组较迟相有功重载工况可能更易发生低频振荡。这一现象应引起注意。

　　归纳以上分析可知，机组是否产生低频振荡取决于3个方面的综合作用：a.

　　网络结构因素，机组与系统电气距离增大将导致固有阻尼能力急剧下降；b.

　　机组运行因素，有功负载增大也将导致固有阻尼能力下降，迟相运行时的固有阻尼一般低于进相运行时固有阻尼；c.

　　励磁控制因素，高增益自动调节励磁产生负的受控阻尼力矩，削弱机组阻尼，且AVR的负阻尼效应强度不仅与其增益有关，而且与固有阻尼的弱化以及深度进相有关。

　　若合成阻尼力矩系数，即阻尼力矩系数固有分量和受控分量之和接近于0甚至为负，机组将发生弱阻尼甚至发散的低频振荡。

　　4结论基于计及阻尼绕组作用的单机无穷大系统直观线性化c 1－c 12模型和Phillips－Heffronk 1－k 6模型，采用微振荡法分析同步电机的电磁力矩。按是否与AVR有关，将电磁力矩增量分为固有分量和受控分量2个部分；给出了计及直轴阻尼绕组与励磁绕组互感和AVR作用的同步力矩系数和阻尼力矩系数算式，以及k 1－k 6模型阻尼系数的算式。运用固有阻尼和受控阻尼的概念深入分析产生低频振荡的原因，认为：外部电抗和有功负载的增大导致机组固有阻尼能力下降，而进相运行则可提升机组固有阻尼能力；AVR总是削弱机组阻尼，其负阻尼效应的强度不仅与AVR的增益有关，而且随着固有阻尼能力的下降而增强，也与深度进相有关；计及AVR作用后，交轴阻尼绕组的阻尼作用得到强化，而直轴阻尼绕组反而可能提供负阻尼。