随着电力系统的解除管制和市场化以及输电系统的开放，要求按用户实际使用线路的情况公平合理地收取费用。因而，快速而准确地确定各发电机与负荷对各输电线路的实际使用“程度”，显得日益重要。

　　由于电力系统的非线性，传统的灵敏度分析法无法准确地确定非线性潮流，基于直流潮流的简化方法又难以计算无功功率的流动情况，文<1 ，2>中虽提出了一种新的计算方法，但该法需进行矩阵求逆，在计算实际大系统时要消耗大量时间，文<3>基于相似的思想，介绍了一种适用于大系统的计算方法，但并没有对该法的适用条件作准确阐述并予以证明。

　　作为一种成熟的理论特别适用于求解与网络拓扑有关的问题。本文采用有向图表示电力系统，其中，点代表系统中的节点，弧代表系统中的变压器和线路；弧的方向代表潮流流动的方向；弧的始端称弧的上游节点；终端称弧的下游节点。

　　有功功率的流动方向可能与无功功率不同。文中首先证明了两个有关定理以确保这一方法的可行性，接着，在节点支路关联矩阵基础上，分别进行“顺流”和“逆流”跟踪计算，以确定每个发电机和负荷对线路潮流的影响。这种方法可适用于实际系统中有功、无功功率输送关系的分析，由于其基于交流潮流，因而可准确地反映系统的非线性。

　　2潮流跟踪的基本原理2. 1基本定理

　　为简化分析，首先作如下假设：（1）所研究的系统具有有限个节点，运行正常，且没有自环流，其交流潮流的计算结果已知；（2）线路电阻、电抗中的损耗和充电功率移至线路两端作为等效负荷，网络等效为一无损网；（3）发电机首先供应本地负荷，剩余功率才供应其它负荷，然后按节点注入电网净功率的正负，将它们分为发电机节点、负荷节点和联络节点；（4）按比例分布的原则实现功率的流动。

　　基于以上假设，可证明如下2个定理：定理1 ：1个没有环流的、具有有限节点的无损系统至少有1个纯“源”点，即发电机节点，其关联支路中的功率都是从该节点流向其它节点。这一定理保证了顺流跟踪法的可行性。

　　证明：假定任何节点没有如所示的自环流，由任何1个有功率从与其相关联支路流入的节点出发，逆功率流动方向到达该支路的上游节点，如该节点不再有功率从与其相关联支路流入，则该节点就是1个纯“源”点；否则，逆功率流动方向继续搜索。如每次搜索到的节点都是新节点，则与系统有有限个节点的假设相矛盾；反之，如搜索到的是旧节点（即已“路过”的节点） ，则表明系统中有自环流，也与假设相矛盾。因此，逆流搜索最后必能得至少1个纯“源”点。

　　定理2 ：1个没有环流的、具有有限节点的无损系统至少有1个纯“潭”点，即负荷节点，其关联支路中的功率都是从其它节点流向该节点。这一定理保证了逆流跟踪法的可行性。

　　证明：假定任何节点没有如所示的自环流，由任何1个有功率从与其相关联支路流出的节点出发，顺功率流动方向到达该支路的下游节点，如该节点不再有功率从与其相关联支路流出，则该节点就是1个纯“潭”点；否则，顺功率流动方向继续搜索。如每次搜索到的节点都是新节点，则与系统有有限个节点的假设相矛盾；反之，如搜索到的是旧节点（即已“路过”的节点） ，则表明系统中有环流，也与假设相矛盾。因此，顺流搜索最后必能得至少1个纯“潭”点。

　　基于以上2个定理，就可利用节点支路关联矩阵（Bus2Line Incident Matrix ，BL IM）分别形成节点输出功率支路关联矩阵（Bus2Outflow2Line Incident Matrix ， BOL IM）和节点输入功率支路关联矩阵（Bus2Inflow2Line Incident Matrix ， BIL IM） ，并快速地确定系统的“源”或“潭”节点。以下用 （a）所示的有4个节点、5条支路的试验系统阐明这一搜索过程。首先用系统的有功潮流形成有向图。显然，该系统的BL IM如所示。由该BL IM可直接分解得BOL IM和BIL IM ，即前者由BL IM中等于1的元素组成，后者由等于- 1的元素组成，并将“- 1”改为“1”，如所示。BOL IM中元素全部为0的行对应的节点就是纯“潭”点，因从该节点没有任何相关的“输出功率”支路；同理，BIL IM中元素全部为0的行对应的节点就是纯“源”点。1个系统中可以有不止1个纯“潭”点和纯“源”点，其个数及处理顺序并不影响后面对发电机贡献因子及负荷汲取因子的计算。显然，本例中的节点4为纯“潭”点，而节点1为纯“源”点。以下的顺流和逆流跟踪计算就基于这2个矩阵。

　　2. 2顺流跟踪节点顺序的确定从1个纯“源”点（节点1）开始，它输出的功率将沿着各关联线路流向其下游节点。消去纯“源”点及其关联支路，即在BOL IM和BIL IM矩阵中划去与纯“源”点节点1对应的行以及在BOL IM中与节点1对应行中其值为1的元素所对应的列。这样，就得到1个子图。由于子图仍满足定理1所规定的条件，因此必然存在纯“源”点。于是可在子图中继续用上述方法寻找纯“源”点并划去它及其关联支路。不断重复这一过程，直到划去所有支路，剩下的节点将是纯“潭”点。

　　2. 3逆流跟踪节点顺序的确定逆流跟踪从1个纯“潭”点开始，搜索过程与顺流跟踪相似，直到子图中不存在任何支路，剩下的将是纯“源”点，本例中可得逆流跟踪路径从节点4开始，依次为节点3、2、1.一般，逆流跟踪的路径正好与顺流跟踪的路径相反。

　　3发电机贡献因子与负荷汲取因子的计算3. 1顺流跟踪计算顺流跟踪用于计算每个发电机对线路潮流的贡献。跟踪路径的确定在第2节中已有详细阐述。对本文中的试验系统，顺流跟踪顺序为从节点1开始，然后依次为节点2、3、4 ，状态变量为各节点的净发电功率。为进行顺流跟踪计算，首先需建立2个矩阵，一是线路对其上游节点以及负荷对其所在节点总流过功率的比值所构成的汲取因子矩阵，即某一节点上各支路流出功率以及该节点上的净负荷功率分别占该节点总流过功率的比值所构成的矩阵；二是各发电机对流过某节点总功率的贡献因子矩阵。

　　由这2个矩阵的乘积可获得发电机对线路潮流和负荷功率的贡献因子。

　　首先计算汲取因子矩阵中线路部分A l。令P l为线路功率矢量（本例中即Pa到Pe） ； P为按顺流跟踪顺序排列的节点总流过功率矢量，由交流潮流计算得出。从而有P l = A l P。

　　A l中的非零元素由下式计算（ A l）ji =流过线路j的功率/流过节点i的总功率P i其中节点i是线路j的上游节点。

　　由可见，本例中， P =（10 8 6 10）T；同理，可形成汲取因子矩阵中的负荷部分A L。令负荷矢量PL的排列顺序与P相同，则由P L = A L P可见， A L将是1对角阵，其中（ A L）ii = 0 i |净负荷节点节点i净负荷功率P i∈净负荷节点本例中A L将A l、A L合并，得完整的汲取因子矩阵A = A l A L。

　　可以证明， A中的元素都非负，其值在0～1之间，而且每列之和为1；在子矩阵A l的每1行中有并且只有1个非零元，与BOL IM中的非零元相对应。

　　然后讨论发电机功率对其下游节点总流过功率的贡献因子矩阵B的形成。令P G为发电功率矢量（如节点i不是发电机节点，则P Gi = 0） ， P为节点总流过功率矢量， P和P G有同样的节点排列顺序；则可定义该矩阵B为P = B P G。由顺流跟踪的原理可见，对某个节点i ，只有它的上游节点发电机才对流过它的总功率有贡献。因此，矩阵B中反映下游节点对上游节点影响的上三角阵元素都为零。如节点i为净发电机节点，则矩阵B中相应的对角元为1，否则为0.非发电机节点将不会对其下游节点产生任何影响，即B阵中相应列的元素恒为0.因此矩阵B可按式（1）计算：B ik = 1 k = i ， k∈净发电机节点0 k = i ， k |净发电机节点0 k > i

　　0 k < i ， k |净发电机节点6 jεi（ A ljm B mk）k < i ， k∈净发电机节点（1）式中k < i为节点k是节点i的上游节点； k > i为节点k是节点i的下游节点； jεi为功率通过线路j注入节点i ； A ljm对应A l中第j行的唯一非零元； m为线路j的上游节点； B mk为B矩阵中已计算过的元素，代表发电机k对节点m总流过功率的贡献因子； A ljm B mk为发电机k通过节点m及线路j对注入节点i的总功率的贡献。因顺流跟踪中的状态变量是发电机功率。它们可由下述的逆流跟踪计算中求得，因逆流跟踪计算中以负荷功率为状态变量。

　　2逆流跟踪计算逆流跟踪用于计算各发电机实际供应哪些负荷及各线路实际为哪些负荷服务。与顺流跟踪相似，首先要建立2个矩阵：①线路对其下游节点以及发电机对其所在节点总流过功率的贡献因子矩阵，即某一节点上各支路流入功率以及该节点上净发电功率分别占该节点总流过功率的比值所构成的矩阵；②各负荷对流过节点总功率的汲取因子矩阵。这2个矩阵的乘积即负荷对线路潮流和发电机功率的汲取因子。

　　首先计算贡献因子，矩阵中的线路部分C l与计算汲取因子矩阵时相似，有P l = C l P。其中， P l和P的定义与顺流跟踪同，但矢量P的排列顺序则由逆流跟踪路径确定。

　　C l中的非零元素按下式计算：（ C l）ji =流过线路j的功率/流过节点i的总功率P i其中节点i是线路j的下游节点。同理，可形成贡献因子矩阵中的发电机部分C G。由于矢量P G和P的排列顺序相同，且P G = C G P ，可见， C G将是1个对角阵，其中（ C G）ii = 0 i |净发电机节点节点i净发电功率P i∈净发电机节点将C l和C G合并就可形成完整的贡献因子矩阵C。

　　不难证明，矩阵C中的元素都非负，其值在0～1之间，而且每列元素之和为1；子矩阵C l中每行只有1个非零元，对应于BIL IM中的非零元。

　　令P L为负荷功率矢量（如节点i不是负荷节点，则P L i = 0） ， P为节点总流过功率矢量， P L和P有相同的逆流跟踪顺序；则可定义负荷功率对上游节点总流过功率的汲取因子矩阵D为P = DP L。

　　与矩阵B相似，矩阵D中反映该节点负荷由其下游节点汲取功率的上三角阵元素为零。矩阵D中的元素可按式（4）计算D ik = 1 k = i ， k∈净负荷节点0 k = i ， k |净负荷节点0 k > i0 k < i ， k |净负荷节点6 jεi（ C ljm D mk）k < i ， k∈净负荷节点（4）式中k < i为节点k是i的上游节点； k > i为节点k是i的下游节点； jεi为通过线路j从节点i汲取功率； C ljm为对应C l中第j行的唯一非零元； D mk为D矩阵中已计算过的元素，代表负荷k对节点m总流过功率的汲取因子； C ljm D mk为负荷k通过节点m及线路j从节点i汲取的功率。

　　因有P l = C l P ，且P = DP L，可得P l = C l P = C l DP L = K lL P L（5）式中K lL为负荷对线路功率的汲取因子矩阵。同理，由于P G = C G P ，且P = DP L，可得P G = C G P = C G DP L = K GL P L（6）式中K GL是负荷对发电机功率的汲取因子矩阵，即确定每个发电机向哪些负荷，按什么比例供电。

　　由于计算过程与顺流跟踪类似，这里不详细列出结果。无论按式（6）或式（3）都可求得本例中发电机和负荷之间的实际功率转移为这意味式（3）和（6）是一致的。此外，不难发现，K GL和K L G中每列元素之和应为1.

　　3. 3对线路阻抗和充电电容的处理对线路仍可采用潮流计算中常用的π型等值电路，其充电功率可根据交流潮流计算的结果移至线路两端作为等值无功电源，线路阻抗中损耗可按下法处理。如有功（或无功）功率在线路两端的输送方向一致，则线路损耗可移至线路的始端作为等值负荷。这样，线路两端的功率就能一致，线路可等效为1个无损线路。如有功（或无功）功率同时从线路两端注入，则可将这2个注入功率分别在线路两端节点上等效为负荷，并断开该线路。这就保证了在有功或无功功率的有向图中每条线路潮流都有1个确定的方向且沿线潮流不变。

　　4算例为证明这一算法的可行性，以有功功率的输送为例，对标准IEEE14节点系统进行了分析计算。

　　结果表明，逆流跟踪和顺流跟踪都能得到相同的功率输送关系，结果如所示。

　　5结论随着输电系统的开放，越来越要求按照线路的实际使用情况收费。本文利用图论快速计算输电线路的功率组成及发电机与负荷之间的实际功率输送关系，从而为输电服务收费提供了合理的依据。文中首先证明了2个相关的定理；然后利用BIL IM和BOL IM 2个关联矩阵快速地进行潮流跟踪计算。

　　其中顺流跟踪用于计算发电机对线路功率和负荷功率的贡献因子，逆流跟踪用于计算负荷对线路功率和发电机功率的汲取因子。文中提出的方法，以无环流网络为前提条件，既可用于有功功率输送关系的分析，也可用于无功功率输送关系的分析，并具有极快的计算速度，可适用于实际系统。如何计算存在环流的网络，尚需进一步研究。