电机稳态运行时的磁场分布在电机设计中是非常重要的，也是最基本的工作。在大多数情况下，发电机都工作在磁饱和区，为此，考虑磁饱和电磁非线性对转子轴系由电磁激发的振动问题具有重要的实际意义和应用价值，同时也引起了人们的研究兴趣。经典的拉格朗日2麦克斯韦方程是基于电场能和磁场能线性情况下得到的，本文计及发电机组磁路饱和的非线性特性，应用拉格朗日2麦克斯韦方程的推广形式，研究磁饱和时发电机转子系统的主共振2主参数共振。

　　1计及磁饱和影响时发电机定转子间气隙磁场能磁感应强度B和磁场强度H之间的非线性关系可用空载特性曲线表示，在电机学中它代表磁通7与磁场F的关系，也反映了电势E与激磁电流i f之间的关系，E和i f的关系曲线，电机学中称之为空载特性曲线。考虑磁饱和的非线性特性，可用三次曲线拟合B 2 H曲线，即B =Λ0 H -Λ1 H 3 =Λ0 F KΛ-Λ1（F KΛ？）3 = +′0 F - +′1 F 3式中+′0 =Λ0 KΛ， +′1 =Λ1 K 3Λ3为定、转子间的气隙偏心大小，Λ0为空气的导磁系数，KΛ为饱和系数，Λ1由曲线拟合计算而得。

　　1. 1气隙磁导发电机定转子间的相对位置如所示，发电机转子外圆相对定子内圆的偏心，一般认

　　为由下列五种情况造成： （a）柔性转子轴弯曲振动变形； （b）弹簧隔振定子铁芯的振动位移； （c）轴颈相对轴承中心的油膜偏心； （d）定子内圆圆心相对转子轴承中心的偏心； （e）转子外圆相对转子轴承中心的偏心。其中（a）、（b）两种偏心是本文考虑的重点，它们形成振动的偏心。

　　可见，定子、转子间的气隙偏心可近似表达为

　　？（Α，t） = ？

　　0 - e cosΒ= ？

　　0 - e cos（Α-Χ）= ？

　　0 <1 -Εcos（Α-Χ） >其中？

　　0为定子、转子间的平均气隙长度。

　　单位面积气隙磁导的线性部分+′0为+′0（Α，t） =Λ0 KΛ？

　　= + 0∑∞n= 0Εn cos n（Α-Χ）（1）式中+ 0 =Λ0 KΛ？

　　0由<1-Εcos（Α-Χ） > 3 = 1- 3Εcos（Α-Χ） + 3Ε2 cos 2（Α-Χ） -Ε3 cos 3（Α-Χ）可得1 <1 -Εcos（Α-Χ） > 3 = 1 + 3Εcos（Α-Χ） + 6Ε2 cos 2（Α-Χ） + 10Ε3 cos 3（Α-Χ） +…+（1 + 2 + 3 +…+ n）Εn cos n（Α-Χ）=∑∞n= 0（∑n+ 1 m = 1 m）Εn cos n（Α-Χ）单位面积气隙磁导的非线性部分+′1为+′1（Α，t） =Λ0 K 3Λ？

　　3 = + 1 <∑∞n= 0（∑n+ 1 m = 1 m）Εn cos n（Α-Χ） >（2）式中+ 1 =Λ0 K 3Λ？

　　3 0对式（2）取前五项，即n由0到4求和之后，得+′1 = + 1 <1 + 3Εcos（Α-Β） + 6Ε2 cos 2（Α-Χ） + 10Ε3 cos 3（Α-Χ） + 15Ε4 cos 4（Α-Χ） >应用x =ΕcosΧ，y =ΕsinΧ，Ε2 = x 2 + y 2的关系代入上式，消去Χ角之后，得+′1（Α，t） = + 1 {1 + 3（x 2 + y 2） + 45 8（x 2 + y 2）2 + <3 x + 15 2（x 2 + y 2）x >cosΑ+ <3 y + 15 2（x 2 + y 2）y >sinΑ+ <3（x 2 - y 2） + 15 2（x 4 - y 4） >cos2Α+ <6 x y + 15（x 3 y + x y 3） >sin2Α+ 5 2（x 3 - 3 x y 3）cos3Α+ 5 2（3 x 2 y - x 3）sin3Α+ 15 8（x 4 + y 4 - 6 x 2 y 2）cos4Α+ 15 2（x 3 y + x y 3） sin4Α}再把x = e cosΧKΛ？

　　0 = XΡ，y = e sinΧKΛ？

　　0 = YΡ代入上式，得+′1（Α，t） = + 1 {1 + 3Ρ2（X 2 + Y 2） + 45 8Ρ4（X 2 + Y 2）2 + < 3Ρ2 X + 15 2Ρ3（X 2 + Y 2）X >cosΑ+

　　< 3Ρ2 Y + 15 2Ρ3（X 2 + Y 2）Y >sinΑ+ < 3Ρ2（X 2 - Y 2） + 15 2Ρ4（X 4 - Y 4） >cos2Α+ < 6Ρ2 X Y + 15Ρ4（X 3 Y + X Y 3） >sin2Α+ 5 2Ρ3（X 3 - 3 X Y 3）cos3Α+ 5 2Ρ3（3 X 2 Y - Y 3） sin3Α+ 15 8Ρ4（X 4 + Y 4 - 6 X 2 Y 2）cos4Α+ 15 2Ρ4（X 3 Y - X Y 3） sin4Α} （3）1. 2气隙磁场能量发电机并网运行时，因为电网的功率和发电机相比要大得多，可看成无穷大电网，此时定子的磁势决定于电网，定转子之间的气隙合成磁势

　　为F（Α，t） = F j cos（Ξt + ？+Η+Υ1 +Π2 -Α） + F + S cos（Ξt -Α） + F - S cos（Ξt +Α） （4）进一步可得F 2（Α，t） = b 0 + b 1 cos2Α+ b 2 sin2Α（5）式中b 0 = 1 2 < A 2 j + （F + S）2 + （F - S）2 > + F + S F - S cos2Ξt - F j F + S sin （？+Η+Υ1） -

　　F j F - S sin （2Ξt + ？+Η+Υ1）b 1 = - 1 2 F 2 j cos（2Ξt + 2？+ 2Η+ 2Υ1） + 1 2（F + S）2 cos2Ξt + 1 2（F - S）2 cos2Ξt -

　　F j F + S sin （2Ξt + ？+Η+Υ1） + F + S F - S - F j F - S sin （？+Η+Υ1）b 2 = - 1 2 F 2 j sin （2Ξt + 2？+ 2Η+ 2Υ1） + 1 2（F + S）2 sin2Ξt + 1 2（F - S）2 sin2Ξt +

　　F j F + S cos（2Ξt + ？+Η+Υ1） + F + j F - S cos（？+Η+Υ1）（6）同样可以求得F 4（Α，t） = a 0 + a 1 cos2Α+ a 2 sin2Α+ a 3 cos4Α+ a 4 sin4Α式中a 0 = （b 2 0 + 1 2 b 2 1 + 1 2 b 2 1） ，a 1 = 2 b 0 b 1，a 2 = 2 b 0 b 2 a 3 = （1 2 b 2 1 - 1 2 b 2） ，a 4 = 2 b 1 b 2（7）式中F j，F + S，F - S分别代表转子磁势、定子的正序、负序磁势的基波幅值，Η和表示功率角和功率因素角，Ξ是电网的频率。

　　电机定转子间的气隙磁场的磁共能为W′m =∫？d F =∫<∫S B d S >d F = RL 2∫2Π0 +′0 F 2 dΑ- RL 4∫2Π0 +′1 F 4 dΑ= W′1m - W′2m（8）式中W′1m称为气隙磁场磁共能的线性部分，W′2m称为磁共能的非线性部分。

　　按照8kW隐极同步发电机组转子轴系扭振实验台的力学模型，如所示，发电机转子竖直方向的支撑刚度K y远大于水平方向的支撑刚度K x，竖直方向的振动位移远小于水平方向的振动位移，若忽略竖直方向的振动，便可以得到横振与扭振耦合的磁共能W′1m =ΠRL + 0 2 <Κ01 - （Κ2 +Κ3 sin2Ξt +Κ4 cos2Ξt）cosΥ1 - （Κ1 +Κ3 cos2Ξt -Κ4 sin2Ξt） sinΥ1 >（1 + X 2 2Ρ2 + 3 8Ρ4 X 4） + <Κ02 - （Κ4 +Κ1 sin2Ξt +Κ2 cos2Ξt）cos2Υ1 -（Κ3 +Κ1 cos2Ξt -Κ2 sin2Ξt） sinΥ1 - （Κ5 cos2Ξt -Κ6 sin2Ξt）cos2Υ1 +（Κ5 sin2Ξt +Κ6 cos2Ξt） sin2Υ1 > （X 2 2Ρ2 + X 4 2Ρ4）（9）式中Κ01，Κ02，Κi由发电机组电磁参数确定。W′2m =ΠRL + 1 2 {2 a 0 <1 + 3Ρ2（X 2 + Y 2） + 45 8Ρ4（X 2 + Y 2）2 > + a 1 < 3Ρ2（X 2 + Y 2） +15 2Ρ4（X 3 + Y 3）X > + a 2 < 6Ρ2 X Y + 15Ρ4（X 3 Y + X Y 3） > + 15 8Ρ4 a 3（X 4 + Y 4 - 6 X 2 Y 2） + 15 2Ρ4 a 4（X 3 Y - X Y 3） }（10）将式（9）及式（10）代入式（8） ，便可以得到系统的磁共能。

　　2发电机组转子轴系扭振方程为8kW隐极同步发电机组转子轴系扭振实验台的力学模型。它是国产200MW汽轮发电机组的模化模型，模化后发电机组转子轴系由发电机转子、低压缸、中压缸、高压缸四部分组成，用4个集中质量来代替，图中I i（i = 1， 2， 3， 4）表示第i个集中质量的转动惯量，Υi（i = 1， 2， 3， 4）表示第i个集中质量的旋转角和扭振角之和，即< i = 8 t +Υi，其中8是转子轴系转动的角速度，Υi（i = 1， 2， 3， 4）表示第i集中质量的扭振角，K ij、Λij（i = 1， 2， 3；j = 1， 2， 3，4）表示第ij段之间的扭转刚度和机械阻尼系数，K x为水平方向的支撑刚度，Λe、Λx为电磁阻尼系数，按，求出系统的动能T、势能V和耗散函数R，引入L agrange函数L = T + W′m - V，代入推广形式的L agrange2M axw ell方程，因阻尼力、电磁干扰力（矩）与弹性恢复力（矩）、惯性力（矩）相比是小量，在阻尼力、电磁干扰力（矩）部分前冠以小参数Ε，为突出发电机组磁饱和因素对轴系动力特性的影响，本文考虑扭振情况，令Α1 =Υ1 -Υ2，Α2 =Υ2 -Υ3，Α3 =Υ3 -Υ4，经变换，消除转子轴系转动的影响，删去代表横向振动的方程，则得到轴系扭转振动方程组Αβ1 + （I 1 + I 2 I 1 I 2 K 12 -Κ2（I 2 + I 3 + I 4）（∑4 i= 1 I i）I 1）Α1 - （1 I 1 K 23 +Κ2（I 3 + I 4）（∑4 i= 1 I i）I 1）Α2 - I 4Κ2（∑4 i= 1 I i）I 1Α3 =ΕΠRL + 0 I 1 { 1 2Κ1（I（1）2Α2 1 + I（2）2Α2 + I（3）2Α2 3 + I（4）2Α1Α2 + I（5）2Α1Α3 + I（6）2Α2Α3） - 1 6Κ2（I（1）3Α3 1 + I（2）3Α3 2 + I（3）3Α3 + I（4）3Α1Α2 + I（5）3Α1Α2 3 + I（6）3Α2Α2 3 + I（7）3Α2 1Α2 + I（8）3Α2 1Α3 + I（9）3Α2Α3 + I（10）3Α1Α2Α3） -（Κ3 cos2Ξt -Κ4 sin2Ξt） + （Κ3 sin2Ξt +Κ4 cos2Ξt） （I（1）1Α1 + I（2）1Α2 + I（3）1Α3） + 1 2（Κ2 cos2Ξt -Κ4 sin2Ξt） （I（1）2Α2 1 + I（2）2Α2 + I（3）2Α2 3 + I（4）2Α1Α2 + I（5）2Α1Α3 + I（6）2Α2Α3） - 1 6（Κ3 sin2Ξt +Κ4 cos2Ξt） （I（1）3Α3 1 + I（2）3Α3 2 + I（3）3Α3 + I（4）3Α1Α2 + I（5）3Α1Α2 3 + I（6）3Α2Α2 3 + I（7）3Α2 1Α2 + I（8）3Α2 1Α3 + I（9）3Α2Α3 + I（10）3Α1Α2Α3） } -ΕΠRL + 1 2 { （a 6 0 + 2 a 13 0） + （a 7 0 + 2 a 14 0）cos2Ξt + （a 8 0 + 2 a 15 0） sin2Ξt + 2 a 16 0 cos4Ξt + 2 a 17 0 sin4Ξt > - < a 3 0 + （4 a 9 0 + 9 a 18 0）cos2Ξt + （4 a 10 0 + 9 a 19 0）sin2Ξt + （4 a 11 0 + 9 a 20 0 + 4 a 25 0）cos4Ξt + （4 a 12 0 - 4 a 26 0） sin4Ξt > （I（1）1Α1 + I（2）1Α2 + I（3）1Α3） - < 1 2 a 6 0 + （1 2 a 7 0 + 27 2 a 21 0）cos2Ξt + （1 2 a 8 0 + 27 2 a 22 0） sin2Ξt - 27 2 a 23 0 cos4Ξt + 27 2 a 24 0 sin4Ξt >{ I（1）2Α2 1 + I（2）2Α2 + I（3）2Α2 3 + I（4）2Α1Α2 + I（5）2Α1Α3 + I（6）2Α2Α3 > + < 1 6Α3 0 + （1 6 a 4 0 + 8 3 a 9 0 + 27 2 a 18 0）cos2Ξt + （1 6 a 5 0 + 8 3 a 10 0 + 27 2 a 19 0）sinΞt + （8 3 a 10 0 + 27 2 a 20 0 + 128 3 a 25 0）cos4Ξt + （8 3 a 11 0 + 27 2 a 21 0 - 128 3 a 26 0） sin4Ξt > （I（1）3Α3 1 + I（2）3Α3 2 + I（3）3Α3 + I（4）3Α1Α2 + I（5）3Α1Α2 3 + I（6）3Α2Α2 3 + I（7）3Α2 1Α2 + I（8）3Α2 1Α3 + I（9）3Α2Α3 + I（10）3Α1Α2Α3） } -Ε<Λe I 1 I 1 + I 2 + I 3（I 1 + I 2 + I 3 + I 4）Αα1 + （Λe I 1 I 3 + I 4（I 1 + I 2 + I 3 + I 4）- 1 I 3Λ23）Αα2 +Λe I 1 I 4（I 1 + I 2 + I 3 + I 4））Αα3 >Αβ2 - 1 I 2 K 12Α1 + I 2 + I 3 I 2 I 3 K 23Α2 - 1 I 3 K 34Α3 =ΕI 2 I 3 < I 3Λ12Αα1 - （I 2 + I 3）Λ23Αα2 + I 3Λ34Αα3 >Αβ3 - 1 I 3 K 23Α2 + I 3 + I 4 I 3 I 4 K 34Α3 =ΕI 3 I 4 < I 4Λ23Αα2 - （I 3 + I 4）Λ34Αα3 >（11）式中I（j）i，Αi 0由发电机组机械、电磁参数确定。

　　方程组（11）是具有周期系数的机电耦合非线性常微分方程组，周期参数激发项的频率为2Ξ和4Ξ， 4Ξ的频率是因为存在电磁非线性关系时才出现的，利用它可以研究考虑发电机组磁饱和时不同振动条件下的振动问题。

　　3发电机组转子轴系扭振的主共振2主参数共振国产某型号200MW汽轮发电机组转子轴系扭振的第6阶固有频率为102. 5Hz，与2倍工频（100Hz）干扰力频率之间满足主共振条件，若考虑发电机磁饱和特性的影响，周期参数激发项的频率除2Ξ外，还有4Ξ，频率为4Ξ的周期参数激发项是因为存在电磁非线性关系时才出现的，当发电机组轴系扭振的固有频率接近电网的二倍工频时，不但会引起主共振，还要引起主参数共振。

　　引入主共振2主参数共振的调谐值Ρ3，则主共振2主参数共振关系可表示成2Ξ=Ξ3 +ΕΡ3 1 2（4Ξ） =Ξ3 +ΕΡ3（12）由非线性振动的平均法，可求得主共振2主参数共振的一次近似解d y 3 d t =Ε< A 1 sinΗ3 + A 2 cosΗ3 + （d 14 + d 15 y 2 3）y 3 sin2Η3 +（d 16 + d 17 y 2 3）y 3 cos2Η3 + d 5 y 1 > dΗ3 d t =Ε<Ρ3 + A 1 cosΗ3 y 3 - A 2 sinΗ3 y 3 + （d 14 + d 15 y 2 3）cos2Η3 -（d 16 + d 17 y 2 3） sin2Η3 + d 8 y 2 3 >（13）由d y 3 d t = dΗ3 d t = 0，得对应主共振2主参数共振的稳态解X 1 = < A 1 sinΗ3 + A 2 cosΗ3 + （d 14 + d 15 y 2 3）y 3 sin2Η3 +（d 16 + d 17 y 2 3）y 3 cos2Η3 + d 5 y 1 > = 0 X 2 = <Ρ3 + A 1 cosΗ3 y 3 - A 2 sinΗ3 y 3 + （d 14 + d 15 y 2 3）cos2Η3 -（d 16 + d 17 y 2 3） sin2Η3 + d 8 y 2 3 > = 0（14）式（14）是非线性超越代数方程组，由此式仍无法得到振幅和相位的解析表达式，用数字计算也存在数学上的收敛性和多值性的困难，为此对方程进行变换，得到幅频响应曲线，即Β1 y 10 3 +Β2 y 8 3 +Β3 y 6 3 +Β4 y 4 3 +Β5 y 2 3 +Β6 = 0（15）式中Βi（i = 1～6）由发电机组机械电磁综合参数确定。

　　利用式（15）可求得主共振2主参数共振的幅频特性曲线，本文计算并网对称运行情况，所取参数如下，扭振的三阶固有频率分别为Ξ1 = 18. 25Hz，Ξ2 = 82. 5Hz，Ξ3 = 102. 5Hz，机械、电磁阻尼系数为Λe = 0. 008，有功功率P D z为额定值。当不考虑磁饱和时，按前面的理论分析结果，系统因无4Ξ的参数激发的电磁力矩，不会发生主参数共振，但因有2Ξ的强迫激发项的电磁力矩，会发生主共振。

　　计及磁饱和影响激磁电流分别为2. 0A ， 4. 0A时关于第三阶模态y 3的主共振―主参数共振的幅频特性曲线，（b）、4（b）是忽略磁饱和影响，激磁电流分别为2.0A、4. 0A时关于第三阶模态y 3的主共振的幅频特性曲线。

　　对于本文8kW发电机组，当激磁电流大于2. 0A后，磁饱和现象已非常明显，对比上述两组结果可知，当激磁电流小于2. 0A时，不计磁饱和时的共振曲线与计及磁饱和时参、强联合共振曲线的下半支重合，当激磁电流大于2. 0A后，随激磁电流的增大，发电机组的工作状态进入磁饱和区，不计磁饱和的共振曲线的振幅及共振区比计及磁饱和共振曲线的振幅及共振区要小。

　　4结论得到的计及磁饱和影响时发电机气隙磁场能的解析式，对研究发电机存在磁饱和特性时转子轴系电磁激发的非线性振动具有普遍意义和应用价值；指出发电机组的磁饱和特性是引起倍频干扰力（矩）的原因，当计及磁饱和影响时，发电机组倍频电磁力激发的扭振表现出主共振2主参数共振特性；分析了磁饱和特性对主共振2主参数共振的影响，不计磁饱和的共振曲线的振幅及共振区比计及磁饱和时共振曲线的振幅及共振区要小。

　　以上结果揭示了发电机组在磁饱和区工作时主共振2主参数共振的特性，它们的变化规律随电磁参数的不同而具有多样性，这是在机械振动系统中所没有的，这些共振的规律对大型发电机及一般电机转子的振动问题的研究都具有积极意义。