发电机的经典摇摆方程与混沌现象的初步研究杨正瓴，林孔元（天津大学自动化学院，天津300072）则该类系统不存在严格意义上的混沌现象。但存在类似于混沌的时间行为，如瞬时混沌现象，以及分叉等现象。这表明上述模型不能用来研究严格意义上的混沌现象。通过对系统方程的变分方程的矩阵特征值分析，初步证明上述结论对于4机系统或多机系统也成立。

　　0引言为了在实际电力系统的动态模拟中研究混沌，本文从最简单的模型开始，逐步给出一些有关混沌的理论分析或数值模拟的结果。认为如果发电机采用经典摇摆方程模型，负荷采用恒定无源阻抗表示，则系统不存在严格意义上的混沌现象，但存在瞬时混沌等现象。

　　指数及其意义对于非线性连续自治系统，间行为记为φ将式（ 1）对x求导，可得：式中φ开始的解 I为单位阵 D的偏导数矩阵，以下同理。

　　定义Υ即得方程（ 1）的变分方程，它是描述φ）随时间变化的线性时变方程）的各特征值，则相应的Lyapunov指数为若记λ导数矩阵）的特征根，有m t.则也就是说， Lyapunov指数λ等于Df （x ）的特征值的实部指数与系统的时间行为的关系记最大Lyapunov指数为λ 0表示系统轨道收缩λ= 0表示系统轨道为周期行为若λ有一个λ 0，则其轨道为混沌行为2特征值分析及不存在混沌的证明2. 1含3台发电机的经典摇摆方程的Df （x ）选发电机3为松弛节点。若负荷采用恒定阻抗表示，暂态后网络从发电机的端点向网络内看，网络的导纳矩阵为I = YE ，其中Y的对角线元素为ii，非对角线元素为Y ij.则另外2台发电机的经典摇摆方程为：式中E为各发电机的暂态电抗后的恒定电势W为恒定值。

　　为：其中A = 2. 2Df （x ）的特征值分析对于n阶方阵M，其主对角线元素记为a nn，其n个特征值记为λ[2 ].对于上面的Df （x ） ，显然有以下定理。

　　定理1λ定理2λ= Df，不恒等于0，即证明首先将Df用代数余子式展开，即得Df= AF　BC.然后用反证法即可。

　　2. 3含3台发电机的经典摇摆方程在恒定负荷时不出现混沌现象定理3对于含3台发电机的系统，如果发电机采用经典摇摆方程模型，负荷采用恒定无源阻抗表示，则该系统不存在严格意义上的混沌现象。

　　证明从变分方程（ 3）可知，在每一时刻t，都有：它是x = f （x ）沿其轨迹的线性化近似。一般地，对于每一瞬间都有Υ的特征值为e观地说，由于Lyapunov指数λ等于Df （x ）的相应的特征值的实部（本文1. 2节） ，因此分析Df （x ）的特征值，则可知系统（ 6）的时间行为的类型（本文1. 3节和定理2）。即：a. Df≠0意味着Df的每个特征值都不等于0，若各特征根均为实数，则方程（ 6）的时间行为或者收敛到一个平衡点，或者发散。

　　b.因为Df为实矩阵，其特征根或者为实数，或者为成对的复数。若包含成对的纯虚数，则方程（ 6）的解为周期行为。此时，也有Df≠0.

　　c.因为混沌系统必有一个λ[1 ]，因此，系统（ 6）的时间行为必包含许多个点满足Df= 0.

　　由定理2可知，Df至多在某些有限的特定条件下等于0.因此，不会出现混沌现象。

　　3一些具体的例子Liu等人在文献中研究了含3台发电机的系统，发电机采用经典摇摆方程模型，则该系统存在瞬时混沌现象以及（类似于）分叉的现象。

　　对于文献[4 ]中的情况1：若按照本文2. 1节中Df （x ）的形式，则它不恒等于0.故该系统不存在真正的混沌现象。从数值模拟的结果看，瞬时混沌并不是真正的混沌。

　　大约经过20 s～30 s后，各例子均变成了小幅度的周期行为。如对于扰动1， P的时间行为分别如图1、图2所示。

　　从上述数值模拟的例子中可以直观地看出，系统中并不存在真正的混沌现象。

　　对于文献[4 ]中的情况2：？学术论文？杨正瓴等发电机的经典摇摆方程与混沌现象的初步研究的时间行为按照本文定理1，该系统的阻尼系数为0，即有= 0，不满足对于混沌系统λ 0的必要前提，故不是真正的混沌系统，该系统不存在真正的混沌现象。从数值模拟的结果看， P的时间行为如图3、图4所示。大约200 s以前是类似混沌的行为， 200 s以后出现分叉行为。

　　的时间行为4对于4机或多机系统对于4机或多机系统， Df （x ）的形式与本文2. 1节中的Df （x ）一样，只是阶数增加了。通过反证的时间行为法不难证明Df （x ）只对于某些特定的点等于0，因此不存在真正意义上的混沌。因为混沌系统的变量的变化有一定的范围，Df （x ）不出现许多0值就不能满足有一个λ5一些相关的问题电力系统是否存在混沌现象，现在尚无定论。特别是在实验研究上。数值模拟在一定的程度上发现了混沌与分叉现象。本文认为，对于含3台发电机的系统，暂态稳定分析中的经典摇摆方程在恒定阻抗负荷下，不存在真正的混沌现象。但数值模拟发现了类似于混沌、分叉的现象。因此，采用经典摇摆方程来研究混沌是不理想的，最好采用其他的发电机模型，或别的负荷模型。但由于经典摇摆方程只适用于1 s以内的情况，因此，用来研究瞬时混沌是可行的。

　　4机系统的数值模拟的情况与3机系统类似。

　　暂不详述。有兴趣者可与我们联系。

　　感谢博士生导师王成山教授的帮助。

　　杨正瓴，男，博士研究生，讲师，主要从事电力系统稳定性、人工智能基础研究。

　　林孔元，男，教授，主要从事电力系统稳定性及人工智能研究。

　　邰能灵，男，博士研究生，研究方向为大机组保护。

　　尹项根，男，教授，博士生导师，主要从事继电保护、电网自动化的研究。？应用研究及成果？邰能灵等大型水轮发电机定子接地保护方案及灵敏度分析